L’Anneau de Möbius

1. Qu’est ce qu’un ruban de Möbius ?

Eh bien, il s’agit d’un objet en 2 dimensions (une surface donc) ne possédant qu’une seule face et qu’un seul côté. Il est obtenu par torsion d’un rectangle et jonction de deux de ses côtés parallèles. Autrement dit, prenez un bout de papier rectangulaire. Attrapez les deux côtés les plus petits du rectangle et faites-en tourner un d’un nombre impair de demi-tours. Fixer les deux extrémités que vous tenez ensemble et vous obtenez un anneau de Möbius. Ici, nous avons la représentation d’un anneau de Möbius à un demi-tour. Si le nombre de demi-tours opérés est pair, l’objet créé ne sera pas un ruban de Möbius car il possèdera deux faces et deux côtés.

 

2. A qui le doit-on ?

Cet objet mathématique a été trouvé (presque) simultanément par deux mathématiciens, August Ferdinand Möbius et Johann Benedict Listing, qui étudiaient tous deux la topologie. C’est d’ailleurs Listing qui fût le premier à utiliser le terme « topologie » pour décrire la branche des mathématiques étudiant « les torsions spatiales par des transformations continues ». En fait, la topologie étudie la géométrie sans métrique, c’est-à-dire sans notion de distance mais de voisinage. Un des problèmes fondateurs de la topologie est le problème des 7 ponts de Königsberg (je vous laisse aller regarder ça par vous-mêmes). Et comme je suis sûre que ça n’est toujours pas clair, ce site vous expliquera la topologie mieux que moi (mais bon courage quand même !).

 

3. Pourquoi l’avoir imaginé ?

Je ne ferai pas ici la biographie complète de Listing et Möbius, mais j’expliquerais leur implication dans la découverte de l’anneau de Möbius.

 

Johann Listing

 

Né en 1808, il étudia les mathématiques sous la tutelle de Gauss. Cet enseignement impacta beaucoup les études qu’il réalisa tout au long de sa vie. En 1861, il écrivit un mémoire portant sur l’extension du théorème d’Euler (et de la caractéristique d’Euler) aux complexes spatiaux généraux. Alors, la caractéristique d’Euler est un nombre qui caractérise une forme dans un espace topologique ou la structure de ce dernier (je rappelle, topologique = sans notion de distance). Autrement dit, chaque forme et chaque espace est caractérisé par un nombre qui lui est propre.

 

Historiquement, Listing fut le premier à faire apparaître le ruban de Möbius dans ses écrits. Cependant, il l’évoqua sans l’expliquer ou le décrire complètement, avec ses principes mathématiques.

 

Pour en savoir plus sur le travail mathématique de Johann Listing : cliquez ici.

 

August Möbius

 

Né en 1790, il étudia, comme Listing, les mathématiques avec Gauss (mais avec presque 20 ans d’écart). Il travailla toute sa vie sur le principe de corrélation, aujourd’hui appelé « transformation ». Son histoire avec le ruban qu’il rendit célèbre commença en 1858 lorsqu’il envoya son « Mémoire sur les polyèdres » à l’Académie des Sciences de Paris pour le concours que cette dernière organisait. Il ne gagna pas le prix mais son écrit posa les bases des surfaces orientables. En effet, Möbius tentait d’établir une classification des surfaces orientables selon les corrélations élémentaires, c’est-à-dire qu’il associait à chaque arête, surface ou volume un signe pour l’orienter et qu’il les classait selon la transformation simple qu’on leur imposait. Dans son mémoire de 1865 au nom allemand compliqué pour les non-germaniques (« Über die Bestimmung des Inhaltes eines Polyeders »), il établit le concept de « surface à un côté » et la loi des arêtes. Cherchant un contre-exemple à cette dernière, Möbius décrivit et caractérisa alors un objet à une face et un côté, l’anneau de Möbius.

 

Pour en savoir plus sur le travail mathématique de August Möbius : cliquez ici.

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